La fisica dei giganti e dei nani

Spesso su internet girano foto taroccate di presunti giganti e tanti ingenui sono disposti a credere che siano vere. A rafforzarli in questa convinzione ci sono anche tanti racconti mitologici e addirittura alcuni passi della Bibbia (se si accetta una chiave di lettura fondamentalista).

In effetti quello dei giganti è un vero e proprio evergreen della fuffa, capace di accendere discussioni al fulmicotone, come tutto ciò che può urtare il sentimento religioso della gente; anche quando a invitare a una lettura non fondamentalista di certi passaggi chiaramente di carattere mitologico sono spesso le stesse istituzioni religiose.

«Non è vero che tutto può accadere in natura. Ci sono alcune cose concepite dalla nostra immaginazione di cui possiamo dimostrare l'impossibilità...»

Inizia così un lavoro di Julian G. Franco (un fisico) in cui mi sono imbattuto per caso. Si intitola "The Physics of Giants and Dwarves: what we know about the existence and viability of drastically scaled creatures" e mi sono divertito a leggerlo. È ben fatto e sbufala in modo definitivo una certa classe di sciocchezze. Ho cominciato a tradurlo in italiano ed eccolo qua...

Premessa

Non è vero che tutto può accadere in natura. Ci sono alcune cose concepite dalla nostra immaginazione di cui possiamo dimostrare l'impossibilità.

In questo lavoro dimostrerò questo assunto facendo vedere come si possa usare il metodo scientifico, sfruttando le nostre conoscenze di fisica e di biologia, per provare al di la di ogni dubbio che è impossibile che esistano creature umanoidi molto più grandi o molto più piccole di quanto siamo noi.

Nel procedere, discuterò anche vari aspetti legati alla nostra comprensione del concetto di scala, da quella microscopica a quella astronomica. Terminerò il saggio con alcune implicazioni filosofiche legate alla mia conclusione principale.

Introduzione

Sento spesso la gente affermare con una logica apparentemente convincente che il fatto che non abbiamo mai visto qualcosa non significa che non esista e che non possa un giorno saltar fuori all'improvviso. Dicono che in mondo è così misterioso e relativamente inconoscibile, che - praticamente - tutto può essere. Questo tipo di ragionamento è applicato, per esempio, alle strane ed esotiche creature che gli esseri umani hanno immaginato e affermato di aver visto.

Il metodo scientifico e la nostra conoscenza delle leggi della natura possono essere utilizzati per confutare l'esistenza di queste creature e la stessa possibilità che possano essere plausibili come esseri viventi.

Se dovessimo inventare strane creature, è naturale e quasi inevitabile che comincereno con l'ingrandire o rimpicciolire la nostra immagine, creando versioni di noi stessi giganti o miniaturizzate, costruite con la nostra stessa carne e il nostro stesso sangue.

E in effetti l'abbiamo fatto. Forse le creature più famose sono quelle incontrate da Gulliver nei suoi viaggi nel regno di Brobdingnag, dove le persone erano alte 18 metri, o in quelle del paese di Lilliput, i cui abitanto erano alti 15 cm [1].

I giganti sono anche menzionati nella Bibbia [2]; King Kong è il personaggio principale dell'omonimo film [3]; e ci sono esseri umani giganti nella vecchia serie TV "Land of the Giants" [4]. Il mio gigante umanoide preferito, tuttavia, è Polifemo, il ciclope amante del vino che perde il suo unico occhio per mano di Ulisse,  dopo di aver mangiato alcuni uomini del suo equipaggio [5].

Anche di umanoidi in miniatura troviamo tantissimi esempi in tutte le culture del mondo. Ci sono nani di varie dimensioni nella mitologia nordica.

E poi ci sono gli angeli che tenevano occupati gli studiosi medievali con interminabili discussioni su quanti di loro potessero ballare sulla capocchia di uno spillo; gli stessi angeli che spingevano i pianeti nelle loro orbite fino a che Newton scoprì che inerzia e gravità potevano essere una spiegazione più plausibile [6].

In tempi più recenti abbiamo "Viaggio allucinante" di Isaac Asimov, dove una equipe di medici rimpiccioliti naviga su un sottomarimo nel sistema circolatorio di un paziente, combattendo i suoi anticorpi e alla fine salvandogli la vita [7].

La fisica delle proporzioni

Per poter discutere la possibile esistenza di queste creature fuori dall'ordinario dobbiamo prima capire come cambiano le dimensioni di un oggetto quando aumentiamo o diminuiamo la sua scala e come le sue proprietà fisiche cambiano di conseguenza.

Confronto tra le dimensioni lineari, superficiali e volumetriche di un cubo che viene ingrandito. Come interessante digressione si noti che se muovendo una linea si genera una superficie e muovendo questa si genera un volume, muovendo un volume si genera altro volume: sembra dopotutto che siamo bloccati in tre dimensioni!

Cominciamo con una forma geometrica semplice studiando un oggetto simmetrico come un cubo. Diciamo di avere un cubo di un cm di lato. Se lo appoggiamo su un piano copre un'area di 1 cm² e occupa un volume di spazio pari a 1 cm³.

Se lo espandiamo uniformemente nello spazio raddoppiandone la lunghezza in tutte le dimensioni otteniamo un cubo i cui lati sono lunghi il doppio, che occupa un'area quattro volte più grande e un volume otto volte maggiore. Questo cubo, pertanto, peserà otto volte di più del cubo originale.

Ora triplichiamo le dimensioni lineari del nostro cubo originale. Ne otteniamo uno che copre un'area nove volte pià grande, con un volume 27 volte maggiore, come mostrato nella figura qui a destra.

Aumentando le dimensioni lineari di sole dieci volte, il nuovo cubo coprirà un'area 100 volte maggiore e peserà mille volte di più del cubo originale.

Si noti come aumentando le dimensioni lineari di un oggetto, ossia rendendolo più lungo in ogni direzione, l'area della  superficie e il suo peso non crescano nello stesso modo, ma molto più in fretta.

Il fatto che queste variazioni bidimensionali e tridimensionali si verifichino all'aumentare o al diminuire della scala hanno - intuitivamente - tutta una serie di conseguenze inattese.

I parametri fisici dell'oggetto, e quelli biologici se ci riferiamo a un essere vivente, assumono valori molto diversi da quelli dell'originale, e tanto più grandi saranno la contrazione o l'espansione, tanto più drastiche saranno le loro variazioni.

Esempio di proprietà che sono influenzate dalla scala sono la forza, il peso e i processi energetici.

La prima persona a scrivere a proposito delle scale di proporzioni fu un certo Galileo Galilei [8], nel XVII secolo. Notò, insieme ad altri, che macchine reali con parti in movimento tendevano a rompersi molto più spesso dei loro modellini funzionanti.

Ora che abbiamo capito le problematiche delle scale di proporzioni, possiamo discutere di come l'esistenza o la capacità di sopravvivenza di entità umanoidi dipenda da che valori assumono le loro proprietà fisiche e biologiche.

Forza e gravità
Chiunque abbia usato una corda per trascinare un carico o reggere un peso capisce intuitivamente che ci sono limiti a quanto una data corda possa trascinare o reggere prima di spezzarsi.

La robustezza di una corda dipende da due fattori: dal materiale con cui è fatta e il suo spessore da quanto è grossa (dalla sua sezione). Le corde sono fatte arrotolando e intrecciando insieme molti fili di materiali robusti, flessibili e fibrosi. Dato un certo materiale, se si vuole una corda due volte più resistente basta usare due corde identiche insieme; per il triplo della resistenza si usano tre corde, e così via.

Per fabbricare le corde, così come per tante altre cose nella storia dell'umanità, siamo stati inizialmente limitati dalle risorse naturali intorno a noi, prima di passare a materiali derivati dai nostri progressi scientifici e tecnologici. Nei tempi antichi le corde erano fatte di fibre naturali ricavate da piante come la canapa o il cotone, o da animali come le pecore o i bachi da seta (o dai ragni se non ci spaventassero). Oggi si fanno con fibre sintetiche molto più resistenti come nylon, poliestere e altri polimeri. In futuro saranno fatte da nanofibre, come i super-resistenti nanotubi di carbonio.
Le corde sono flessibili, e non rigide. Sono pertanto utilizzate esclusivamente per tirare, sollevare o legare.

Usiamo colonne, travi, archi per sostenere il peso e la tensione delle strutture che costruiamo come case, edifici e ponti. Come per le corde, il peso e la pressione che questi supporti possono reggere dipende dal materiale e dalla sezione.

Per la maggior parte della nostra storia abbiamo costruito i nostri edifici con alberi e pietra. Ma pratiche strutture in legno che soddisfano i nostri bisogni cominciano a deformarsi man mano che questo si accumula, fino a cedere a causa dell'inesorabile forza di gravità, quando le dimensioni lineari arrivano circa a 15 metri. E' stato solo nel corso del secolo passato che con l'invenzione del calcestruzzo rinforzato e le travi in acciaio profilato siamo riusciti a costruire strutture molto più grandi di qualche decina di metri.

Tuttavia la gravità vince sempre. Anche con i materiali più tecnologici, le conoscenze di statica più approfondite e la progettazione più intelligente esiste un limite pratico alla misura delle strutture di alcune centinaia di metri.

A parte alcuni ponti (piatti), l'umanità non ha ancora costruito  nessuna struttura, vuota o piena, che si avvicini a mlle volte l'altezza di un uomo (diciamo un miglio, o 1609 m) [9].

Tuttavia, l'attuale crescita esponenziale delle conoscenza e le sue strabilianti conseguenze indicano, senza dubbio, che tali limiti saranno un ricordo del passato tra pochi decenni [10].

Che dire delle entità biologiche come gli animali? Cosa sostiene il loro peso e gli conferisce forza e mobilità? Meccanicamente parlando, gli animali possono essere visti come strutture semoventi con una struttura portante leggera fatta di vari materiali.

Gli animali col guscio e gli insetti hanno uno scheletro esterno che gli conferisce loro forma, li aiuta nei movimenti e protegge i loro organi interni. Rettili, uccelli e mammiferi, d'altra parte, hanno uno scheletro interno basato su una lunga spina dorsale da cui si protraggono le estreemità.

Questa impalcatura interna è fatta di cavità e ossa collegate tra loro. Le cavità proteggono gli organi vitali come il cervello, il cuore e i polmoni. Le centinaia di ossa, insieme ai muscoli, legamenti, cartilagini, e tendini che le connettono, danno algi animali la loro forma, la forza, la flessibilità e la capacità di muoversi. Le mossa si muovono perché sono collegate ai muscoli, le cui cellule si contraggono quando ricevono un comando dal cervello cui restituiscono un feedback attraverso un cablaggio elettrochimico costituito dall'apparato nervoso.

Proprio come per corde e colonne, la resistenza di un osso è direttamente proporzionale al suo peso. Per capire a livello intuitivo questo fatto basta pensare, per esempio, all'osso della coscia o femore, l'osso più lungo e grosso di un mammifero.

Ora vediamo cosa succederebbe se espandessimo il nostro essere umano alle dimensioni di un gigante. Se aumentiamo linearmente le dimensioni di 10 volte (ossia immaginando il nostro gigante dieci volte più alto, con dita, naso e piedi 10 volte più lunghi, ecc.) la superficie della pelle sarebbe 100 volte più grande e le ossa 100 volte più spesse. Il volume sarebbe 1000 volte più grande, per cui l'apparato muscolo-scheletro dovrebbe reggere e permettere di spostare un peso 1000 volte superiore a quello dell'essere umano originale.

Immaginate che la vostra vicina Mary, che pesa 70 kg, all'improvviso diventasse, per magia, 10 volte più grande. Avremmo allora 1000 Mary: il suo peso sarebbe di 70 tonnellate!  E voi che pensavate che fosse sovrappeso prima...

Questo ci mette di fronte a una situazione senza soluzioni. Il suo peso è aumentato 1000 volte, ma la sua forza è aumentata solo di 100 volte, così come la sezione delle sue ossa. Se potesse esistere veramente, sarebbe come se se dovesse portarsi sulle spalle altre nove persone come lei!

Se fossimo veramente in grado di costruire un essere umano gigante, fatto di carne e ossa e con la nostra stessa identica biologia, non sopravviverebbe. Semplicemente basandoci sulle forze, le sue ossa si spezzerebbero e il gigante sarebbe destinato ad essere schiacciato dal proprio peso.

[...] sarebbe impossibile far strutture di ossa per uomini, cavalli o altri animali, che potessero sussistere e far proporzionatamente gli uffizii loro, mentre tali animali si dovesser agumentare ad altezze immense, se già non si togliesse materia molto più dura e resistente della consueta, o non si deformassero tali ossi, sproporzionatamente ingrossandogli, onde poi la figura ed aspetto dell'animale ne riuscisse mostruosamente grosso [...] E per un breve esempio di questo che dico, disegnai già la figura di un osso allungato solamente tre volte, ed ingrossato con tal proporzione, che potesse nel suo animale grande far l'uffizio proporzionato a quel dell'osso minore nell'animal più piccolo, e le figure son queste: dove vedete sproporzionata figura che diviene quella dell'osso ingrandito. Dal che è manifesto, che chi volesse mantener in un vastissimo gigante le proporzioni che hanno le membra in un uomo ordinario, bisognerebbe o trovar materia molto più dura e resistente, per formarne l'ossa, o vero ammettere che la robustezza sua fusse a proporzione assai più fiacca che ne gli uomini di statura mediocre; altrimente, crescendogli a smisurata altezza, si vedrebbono dal proprio peso opprimere e cadere. Dove che, all'incontro, si vede, nel diminuire i corpi non si diminuir con la medesima proporzione le forze, anzi ne i minimi crescer la gagliardia con proporzion maggiore: onde io credo che un piccolo cane porterebbe addosso due o tre cani eguali a sé, ma non penso già che un cavallo portasse né anco un solo cavallo, a se stesso eguale.

 Galileo Galilei, 1638,
Discorsi e dimostrazioni matematiche
intorno a due nuove scienze

Parlando dal punto di vista evoluzionistico è questa, tra le altre drastiche limitazioni, ad impedire agli esseri umani intesi come specie, di diventare di dimensioni molto superiori a quella attuale, a meno di non modificare la propria biologia basata su acqua e carbonio, la propria forma o entrambe le cose. Inoltre, dal momento che abbiamo tutti la stessa origine comune e condividiamo la stessa biologia, possiamo anche studiare altri animali strettamente relazionati tra di loro e vedere cosa succede all'aumentare o diminuire della dimensione. Tutti i mammiferi, per esempio, hanno la stessa tipologia di tessuti (carne e ossa) e hanno in comune molte caratteristiche anatomiche.

Si notino le zampe tozze e colonnari di questo elefantino e di sua madre.

Galileo fu in primo a fare precisamente questa cosa. Confrontò le ossa delle zampe di una gazzella e di un bisonte, entrambi mammiferi della famiglia del cervo [11]. Notò che le ossa delle zampe del bisonte erano sproporzionatamente più spesse rispetto quelle della gazzella. Il bisonte non può crescere fino a diventare così pesante e allo stesso tempo mantenere la graziosa silhouette di una gazzella. Un esempio lampante di questa sproporzione necessaria è la tozza zampa dell'elefante, come mostrato nella figura a fianco.

Questo non significa che - in linea di principio - un gigante dalla forma umana non possa esistere, entro certi limiti, ma semplicemente che dovrebbe essere completamente diverso dagli esseri umani così come sono; ad esempio, stessa forma e proporzioni ma ossa di un materiale non biologico super-resistente; oppure stessa biologia, ma con un drastico cambiamento nelle proporzioni, diventando più tarchiato e robusto man mano che crescono le dimensioni. James Trefil, un noto fisico e divulgatore americano, ha fatto notare per la precisione, che se volessimo progettare un gigante gravitazionalmente plausibile, fatto di sangue, carne ed ossa, cinque volte più alto di noi, dovrebbe pesare più o meno due volte un elefante (12 tonnellate), e assomiglierebbe più a un carro armato Sherman che a una persona, alto 9 metri, profondo 2.5 metri dalle spalle al petto, e largo 5 metri! [12]

Ma cosa succederebbe se scendessimo di dimensioni? Se dovessimo a diventare lillipuziani dieci volte più piccoli come dimensioni lineari, la sezione delle nostre ossa sarebbe 100 volte più piccola e il nostro peso 1000 volte minore. La nostra forza diminuirebbe come il nostro peso, ma solo di un fattore 10. Questi uomini  in miniatura si sentirebbero molto leggeri e sarebbero capaci di portare senza sforzo nove loro amici sulle spalle prima di sentirsi come noi ci sentiamo trasportando il solo nostro peso. Le loro ossa sarebbero, in proporzione molto resistenti: sfidando la gravità potrebbero saltellare felicemente portando grandi pesi senza spezzarsi le gambe o danneggiare la schiena.

Un gatto può saltare facilmente dal secondo piano e atterrare illeso. Ma un essere umano o un cavallo che tentassero di fare la stessa cosa si romperebbero molto probabilmente le gambe (e potrebbe andargli molto peggio). Una pulce può saltare facilmente centinaia di volte la propria lunghezza e atterrare correndo e una formica può trasportare diverse volte il suo peso [13].

Naturalmente possiamo anche modificare la gravità, invece della resistenza delle ossa. Ricordiamo tutti come Neil Armstrong, nella bassa gravità della Luna, saltellasse senza sforzo grazie all'evoluzione terrestre delle sue ossa [14]. Cose simili accadono anche nella fantascienza. Kripton, il pianeta natale di Superman, era molto più massiccio della Terra, dove il supereroe si sente talmente leggero che quando prova a camminare salta, e quando prova a saltare vola [15].

Gli animali più grandi mai vissuti sul nostro pianeta appartengono a una specie tuttora esistente: sono le balenottere azzurre, che raggiungono con facilità il peso di 150 tonnellate. La sola ragione per cui possono diventare così grandi è che tutto il loro peso è sostenuto dall'acqua. A volte le balene rimangono bloccate vicino alle spiagge o sulla barriera corallina. Quando si spiaggiano, sentendo all'improvviso in parte il loro peso, non riescono più a sollevare agevolmente le costole nell'atto della respirazione. Lo schiacciamento della cassa toracica le porta alla morte per soffocamento.

Che dire degli alberi? Sono anch'essi entità biologiche, hanno un'origine comune con noi, e proprio come noi sono fatti di cellule piene d'acqua. Com'è che alcuni di loro, a differenza di noi, possono crescere fino a 100 metri e oltre? Perché un albero è di per se una colonna: solida, forte e ben ancorata al terreno. Gli alberi, grandi e alti, sono strutture solide fatte di cellule morte con grosse pareti. Inoltre, cosa fondamentale, tranne che estendendo le proprie radici, un albero non si sposta per cercare il cibo e riprodursi.

Quindi - a differenza degli animali - non ha a che fare con le forze significativamente maggiori e complesse legate al movimento. E' come se dovessi passare tutta la vita steso su un letto, come un vegetale, o a guardare la TV buttato sul divano come un sacco di ... patate!

Scherzi a parte, vedremo tra poco come le piante siano in realtà fondamentali per la nostra sopravvivenza.

Cibo come energia

Un'altra proprietà importante che varia con la scala di un'entità biologica è l'energia associata ai processi metabolici. Il metabolismo ha a che fare con le reazioni chimiche che avvengono nelle cellule degli organismi viventi e che sono necessarie per mantenere la vita. Tutta l'energia necessaria per questi processi in definitiva viene, direttamente o indirettamente, dal Sole. Le piante prendono la loro energia dal sole. Gli animali ottengono la loro energia mangiando piante (o altri animali che a loro volte mangiano piante).

Così come il legno brucia grazie all'ossigeno, producendo anidride carbonica, acqua e calore - gli animali, a livello cellulare, bruciano il cibo digerito con l'ossigeno producendo anidride carbonica, acqua e calore. Questo calore garantisce l'energia necessaria per le funzioni metaboliche degli animali.

Gli animali sono come fornaci che devono essere mantenuti entro un certo intervallo di temperature per poter funzionare. Gli animali a sangue freddo come gli insetti e i rettili operano a temperature vicine a quelle dell'ambiente circostante e ottengono un po' della loro energia semplicemente esponendosi al Sole. Gli animali a sangue caldo operano generalmente a una temperatura più alta di quella ambientale, necessitando così di molta più energia per operare; questa viene praticamente tutta ottenuta mangiando piante e/o altri animali.
I loro corpi disperdono continuamente calore nell'ambiente, visto che la loro temperatura è più alta di quella ambientare e il calore fluisce sempre dal sistema a temperatura più alta a quello a temperatura più bassa.

Gli animali a sangue caldo con l'evoluzione hanno sviluppato vari meccanismi per regolare la loro temperatura e mantenere il calore usando il minimo di energia possibile. Sulla loro superficie (pelle), hanno sviluppato materiali isolanti come piume, peli e pelliccia. Nel nostro caso abbiamo domato il fuoco e cominciato a coprire il nostro corpo con le pellicce di altri animali e - molto più tardi - intrecciando piante fibrose; questo man mano che ci spostavamo verso latitudini più elevate e fredde. Abbiamo perso parte dei nostri peli e quasi tutta la nostra pelliccia [16].

Ora, è facilmente comprensibile come l'energia immagazzinata nel cibo sia proporzionale alla sua massa; due fette di pizza hanno il doppio di energia di una sola fetta, e così via. E' anche vero che l'energia dispersa da un animale è grosso modo proporzionale alla superficie totale della sua pelle. In un animale adulto anche il fabbisogno di energia, e dunque il quantitativo di cibo necessario per produrla, è quindi proporzionale alla superficie del suo corpo, visto che è tramite la pelle che esso perde il proprio calore [17].

Siamo ora pronti per discutere di quanto cibo avrebbe bisogno il nostro gigante. Essendo le sue dimensioni lineari aumentate di dieci volte, allora la sua superficie sarà 100 volte più grande e la massa 1000 volte la nostra. Dovrà mangiare 100 volte più cibo di prima, essendo il suo fabbisogno di cibo proporzionale alla superficie corporea (L²). Quindi, in proporzione, mangerà un decimo di un essere umano di dimensione normale. Se, per esempio, una pizza soddisfa il fabbisogno di un uomo normale, il gigante avrà bisogno di un solo 1/10 della pizza ingrandita, avendo questa una massa 1000 volte superiore alla pizza standard (mentre il fabbisogno energetico del gigante è solo 100 volte quello di prima). Il gigante non avrà problemi a nutrirsi, dovendo mangiare - in proporzione - dieci volte meno di un essere umano di dimensioni normali.

Ma vediamo cosa capiterebbe al nano, rimpicciolito linearmente di dieci volte. Il suo fabbisogno energetico (cibo) sarebbe cento volte più basso, ma la sua massa 1000 volte minore. Per cui, in proporzione, avrebbe bisogno di mangiare dieci volte più cibo di quello che serve a un essere umano normale. Sempre col nostro esempio della pizza, la sua è mille volte più piccola mentre il suo fabbisogno è diminuito di sole 100 volte. Dovrebbe mangiare, digerire e processare metabolicamente - sempre in proporzione - dieci volte il cibo che usiamo noi. Questo è naturalmente impossibile, assumendo che il nano abbia la stessa nostra biologia.

Un colibrì. Le sue ali possono battere anche 80 volte al secondo...

Possiamo verificare facilmente questi fatti in natura osservando il fabbisogno energetico di animali di diverse dimensioni che vivono grosso modo alla stessa temperatura.

Per esempio i piccoli animali a sangue caldo mangiano spesso, dovendo vivere vite frenetiche e impegnate. Quelli più grandi non hanno bisogno di mangiare così tanto, sempre in proporzione, vivono vite più tranquille ma tendono a soffrire il caldo. Un piccolo colibrì ha bisogno di un rifornimento costante di energia altamente concentrata sotto forma di nettare zuccheroso; un fringuello morirà di fame se non mangia per 24 ore; e un toporagno da 2 grammi, il mammifero più piccolo al mondo, dovrà mangiare ogni giorno per diverse volte la sua massa per sopravvivere [18].

D'altra parte i grandi mammiferi hanno bisogno di molto meno cibo in proporzione della loro massa corporea, e in effetti possono avere problemi a smaltire il calore in eccesso. Un grosso ippopotamo passa molto tempo a rinfrescarsi in acqua e l'elefante ha grandi orecchie che funzionano come radiatori e aiutano a smaltire il calore in eccesso. Inoltre nessuno di questi ha una pelliccia isolante e tutti se ne vanno in giro nudi [19].

Gli animali a sangue freddo come insetti, rettili e anfibi vivono lente vite letargiche, mangiando meno frequentemente. Un serpente con un buon pasto è a posto per una settimana o due. Ci sono solo pochi animali a sangue caldo più piccoli di un topo o di un colibrì, ma esistono una quantità di piccoli animali a sangue freddo come insetti e anfibi.

Dal microscopico all'astronomico

Finora abbiamo visto che al variare delle dimensioni lineari di un oggetto (L¹), la sua area di superficie (L²), e il suo volume (L³), non cambiano nella stessa proporzione.  Nelle due sezioni precedenti abbiamo ingrandito e rimpicciolito degli esseri viventi, e abbiamo discusso su come queste variazioni non proporzionali influiscano su caratteristiche come sforzo meccanico e fabbisogno energetico.

Quando rimpiccioliamo un oggetto rispetto la sua dimensione normale, diventano molto evidenti gli effetti dovuti alla variazione di superficie, e irrilevanti quelli dovuti alla gravità. All'opposto, quando lo ingrandiamo gli effetti dovuti alla variazione di superficie tendono a diventare marginali, mentre quelli dovuti alla gravità diventano spaventosi.

Questo spiega fenomeni molto diversi come, per esempio, perché le cellule siano così microscopiche al punto che ne abbiamo migliaia di miliardi; perché gli esseri umani a latitudini più elevate e fredde si siano evoluti per essere più alti o massicci;  e perché la Terra sia ancora geologicamente attiva mentre la Luna sia coperta di antichi crateri e risulti di fatto "morta" da tre miliardi di anni.

Come abbiamo visto, questi effetti dimensionali si applicano a tutti gli oggetti, compresi gli esseri viventi, visto che la materia inerte e quella vivente sono soggette alle stesse leggi fisiche. Vediamo ora agli cambiamenti in termini di energia e forza in relazione al variare delle dimensioni degli oggetti fino ad arrivare a taglie astronomiche; come i satelliti o i pianeti.

1. Effetti energetici

Prima di tutto vediamo come il rapporto volume-area di un oggetto cambi con le sue dimensioni. Prendiamo una figura simmetrica come luna sfera. Il rapporto tra volume e area della superficie si ottiene così:

Volume della sfera / area della sfera = V/A = (4/3 p R³) / (4p R²) = 1/3 × R

In genere si esprime questa formula dicendo che il rapporto tra il volume e l'area è direttamente proporzionale a R. Ciò significa che se la sfera aumenta di dimensioni, il suo volume cresce più velocemente dell'area della sua superficie. Per esempio, data una sfera di 10 m di raggio, V/A = 1/3 × 10 ˜ 3.3, mentre per una sfera di 20 m di raggio, V/A = 1/3 × 20 ˜ 6.7 [20]

Consideriamo oggetti astronomici come i pianeti e i satelliti del nostro sistema solare. Si formarono 4.5 miliardi di anni fa da ciò che restava della nube rotante di gas e polveri che ha dato origine alla nostra stella, il Sole. A causa della forza gravitazionale attrattiva, miliardi di pezzi di detriti rotanti si unirono in aggregati via via più grandi, andando a formare masse sempre maggiori. Questi agglomerati di materia continuarono a spazzare detriti lungo la loro orbita intorno al nuovo sole, collidendo tra loro e catturando via via blocchi sempre più grossi man mano che aumentava la loro forza di gravità, e formando infine sfere calde di materia fusa che poi si solidificarono nei pianeti e nei satelliti del nostro sistema solare.

L'attività geologica che forma la superficie di un pianeta è una diretta conseguenza di tutto il calore (energia) che fluisce dal suo interno verso lo spazio esterno, molto più freddo. Come abbiamo visto in precedenza, il rapporto volume/area (V/A) aumenta col raggio R. La quantitù calore immagazzinato dentro un pianeta è proporzionale al suo volume, mentre la perdita di calore è proporzionale all'area della sua superficie. Dunque tanto più è grande il pianeta, tanto più diventa difficile dissipare il calore al suo interno, esattamente come una patata grossa si raffredda più lentamente di una piccola. In effetti per raffreddare prima una patata la tagliamo a fette: aumentiamo così la sua superficie mantenendo inalterato il volume.

La Luna, avendo circa un quarto del diametro terrestre, perse tutto il suo calore tanto tempo fa, mentre la Terra, molto più grande, è ancora calda. Questo spiega perché il nostro pianeta continui a cambiare con la formazione di nuove catene montuose, terremoti, vulcani, ecc., mentre la luna è di fatto una sfera rocciosa morta e sulla sua superficie ci sono vecchi crateri dovuti ad impatti asteroidali avvenuti probabilmente tra tre e quattro miliardi di anni fa [21].

[ in realtà ci sono altri fattori che mantengono caldo l'interno del nostro pianeta, come il decadimento alfa di elementi contenuti nel nucleo e nel mantello, ma in generale il discorso resta valido - n.d.t. ]

Abbiamo discusso di come il calore di un elefante o di un pianeta abbia una superficie relativamente piccola per essere dissipato. Per contro, se all'esterno fa caldo e dentro è più freddo, c'è di nuovo una superficie comparativamente più piccola per consentire al calore di entrare. Pensiamo, per esempio,  a un posto dove nevichi: si provi a fare una grossa sfera di neve e si veda quante settimane impiega a sciogliersi completamente.

2. Effetti meccanici (gravitazionali)

L'intensità della forza gravitazionale, con tutte le sue conseguenze, è proporzionale alle masse coinvolte. La forma delle masse con cui abbiamo quotidianamente a che fare (che come ordine di grandezza vanno dall'occasionale asteroide con dimensioni dell'ordine del chilometro che colpisce la terra, all'essere umano fino al batterio) sono determinate dalla forza elettromagnetica [ per intenderci: non è la gravità a tenere insieme i nostri corpi, o i sassi, o i piccoli asteroidi n.d.t. ]. Tuttavia, quando le masse diventano letteralmente astronomiche, la forza di gravità diventa dominante fino al punto che praticamente qualsiasi oggetto più grande di 1000 km deve necessariamente assumere una forma sferica.

Tutti gli oggetti dotati di massa si attraggono l'un l'altro con una forza che dipende dal valore delle loro masse e dalla loro distanza reciproca. Quando un oggetto aumenta di massa, anche la mutua attrazione gravitazionale delle sue costituenti aumenta, superando alla fine la resistenza meccanica dei materiali (cioè la forza elettromagnetica) di cui quel corpo è fatto. Se un oggetto cresce fino a centinaia di chilometri, la spinta verso l'interno diventa via via maggiore, tendendo a smussare qualunque grossa irregolarità della superficie.

Visto che la forza di gravità non ha una direzione preferita, quando l'oggetto diventa più grosso, i corrugamenti sulla sua superficie tendono ad essere stirati ugualmente in tutte le direzioni e portati alla stessa distanza. Il risultato ultimo di questo processo è la forma simmetrica di una sfera, dove la distanza della superficie dal centro geometrico dell'oggetto è la stessa in tutte le direzioni.

Per i tipici materiali rocciosi che si trovano nel sistema solare, che hanno una densità dello stesso ordine di grandezza dell'acqua (qualche g/cm³) [22], il limite inferiore perché la forma di un oggetto diventi sferica è vicino ai 1000 km. Si è scoperto recentemente che tra i più piccoli corpi rocciosi del sistema solare, quello che assomiglia di più a una sfera piuttosto che a una patata è Cerere, il nostro asteroide più grosso [ recentemente promosso a pianeta nano - n.d.t. ] che ha un diametro di circa 960 km. Questo diametro limite per la sfericità si abbassa riuscendo a comprimere più massa per unità di volume, ossia aumentando la densità. Un corpo astronomico fatto di osmio, l'elemento più denso (22.7 g/cm³), diventerebbe sferico con poche centinaia di chilometri di diametro, e le stelle di neutroni, oggetti spaventosamente densi (700 milioni di tonnellate per cm³), non solo hanno diametri di una decina di chilometri, ma hanno pure superfici straordinariamente lisce.

Ci sono altri esempi nei quali la gravità influenza la dimensione e la forma degli oggetti. Ci sono, per esempio, leggende di trogloditi che sarebbero vissuti in grandi reti di caverne nelle profondità della Terra; qualcosa tipo la metropolitana, ma molto più in profondità, e con muri fatti di nuda roccia. Bene, data la nostra discussione sulla gravità e sulla resistenza meccanica dei materiali, è facile rendersi conto di come l'esistenza di sacche d'aria nelle profondità di grandi corpi astronomici sia impossibile, a meno che i muri non siano fatti di qualche materiale super-resistente di origine extraterrestre.

Per finire, così come un mucchio di sabbia di un certo volume e consistenza ha una precisa forma conica e un'altezza limitata, la forza gravitazionale di un dato pianeta pone un limite a quanto può crescere in altezza una montagna sulla sua superficie. Considerati i materiali rocciosi tipici del sistema solare interno, le montagne sulla Terra possono crescere al massimo per una decina di km, più o meno: si veda l'isola vulcanica di Mauna Kea nell'arcipelago delle Hawaii nell'oceano pacifico che si alza per 4.207 m sul livello del mare, ma di ben 10.204 m rispetto fondo oceanico [23]. Invece su più piccolo Marte possono crescere tre volte di più: si veda ad esempio l'Olympus Mons, il vulcano (e monte) noto più alto del sistema solare, che si alza per 27 km rispetto al livello medio del suolo marziano.

Riflessioni filosofiche

L'universo è un posto davvero misterioso e alcuni dei suoi segreti più intricati forse sono destinati a non essere mai svelati. Malgrado ciò, l'universo si presta per essere compreso. Come disse Einstein “uno degli aspetti più incomprensibili dell'universo è il fatto che è comprensibile”. I suoi comportamenti "seguono" quelle che abbiamo chiamato Leggi di Natura, regole che noi possiamo comprendere, e che per quel che abbiamo potuto constatare, si applicano allo stesso modo in tutto l'universo.

Per gran parte della nostra storia siamo rimasti molto ignoranti sul funzionamento dell'universo, persino sulle cose più semplici. Abbiamo fatto del nostro meglio per capire noi stessi e il mondo intorno a noi. In qualche modo, per tanto tempo, siamo rimasti impantanati nella superstizione, incapaci di uscirne con una metodo attendibile e sistematico di indagine razionale che ci avrebbe permesso di svelare i segreti del mondo e messo in grado di manipolarlo.

Quando sentivamo il tuono pensavamo che fosse un dio arrabbiato con noi. Quando vedevamo qualcuno cadere a terra all'improvviso, contorcendo involontariamente il proprio corpo, schiumando dalla bocca, pensavamo che forse era una punizione per una sua malefatta, una maledizione evocata dagli dei o che degli spiriti maligni avessero preso possesso del suo corpo.

Oggi abbiamo conoscenze migliori. Comprendiamo come suono, elettricità e fisiologia animale siano fenomeni naturali correlati e spiegabili. In poche parole per me - o per il mio gatto, se potesse capirlo - il tuono è un'interpretazione che viene da un cervello che registra l'improvviso spostamento d'aria dovuto all'energia rilasciata da una enorme scintilla elettrica generata da due grandi corpi carichi; e che le contorsioni involontarie di un animale derivano dall'attività elettrochimica del suo corpo andate fuori controllo a causa di un abnorme aumento dell'attività elettrica del suo cervello [24].

Il metodo scientifico ha demistificato il mondo intorno a noi così che, gradualmente e inesorabilmente. tutte quelle cose che una volta erano nel regno del soprannaturale ora sono entrate a far parte del mondo naturale.  C'è una grande quantità di conoscenze che abbiamo acquisito negli ultimi secoli: da cose che avevamo completamente frainteso ad altre di cui non sapevamo assolutamente nulla.

Gli esseri umani del XXI secolo possono decidere di abbracciare questa nuova conoscenza col dovuto scetticismo scientifico o scegliere qualsiasi cosa si adatti alle loro inclinazioni e capricci; e questo con ragione, ignoranza o apatia.

Ci sono vari gradi di incertezza su quanto abbiamo imparato del mondo. Ci sono alcune questioni fondamentali che rimangono ancora irrisolte e un ampio spettro di domande le cui risposte hanno un'attendibilità che va dal dubbioso all'assoluta certezza. D'altra parte non conosciamo praticamente nulla dell'origine ultima dell'universo (o multiverso?) e, come qualcuno ha detto, per quel che ne sappiamo il nostro universo potrebbe essere il progetto scolastico di un ragazzino di una scuola superiore di una civiltà avanzata in un altro universo [25].

All'altro estremo, ci sono cose su cui ci eravamo completamente sbagliati ma che ora conosciamo con certezza assoluta. Per esempio, sappiamo che la condizione neurologica nota come epilessia non ha nulla a che fare con spiriti che possiedono un corpo e in effetti è molto probabile che entro pochi anni arriveremo ad avere una comprensione completa del fenomeno, fino ai dettagli. Molti, per migliaia di anni, hanno pensato che la Terra fosse piatta e nessuno era in grado di smentirli completamente; nel 1961 abbiamo visto che era tonda coi nostri occhi [26].

Sono uno che impara e insegna la scienza e ho notato che gira tanta disinformazione sulla conoscenza scientifica nei media. In particolare, nei film pseudo-scientifici, quando succede qualcosa di strano, ho sentito tante volte considerare perfettamente ragionevole come risposta che l'universo è così misterioso che quello strano fenomeno dev'essere qualcosa di soprannaturale.

Si tratta in generale di una fallacia, un malinteso che risulta dal ragionare in modo sbagliato, dal fare appello all'ignoranza piuttosto che alla comprensione. La nostra conoscenza delle leggi di natura ci permette di distinguere il plausibile dall'impossibile e, per quanto una cosa possa apparirci bizzarra, in genere possiamo sempre dire molto al riguardo, razionalmente e scientificamente. Chi afferma l'esistenza di un fenomeno o di un'entità deve almeno fornire un argomento di plausibilità fisica. E' accettabile un argomento ontologico (di esistenza) fino a che l'affermazione di esistenza non viola le leggi della natura.

Se qualcosa viola le leggi della natura, allora sappiamo che non può esistere. Se non viola le leggi della natura allora può esistere o non esistere. A quel punto andranno usati altri argomenti razionali tipici della natura e relativi alla plausibilità fisica, come riproducibilità, semplicità, similitudine, simmetria o predicibilità derivante da modelli matematici o fisici, e così via. E comunque potrebbe ancora non esistere. In definitiva ci si riconduce alla famosa frase di Carl Sagan: "Affermazioni straordinarie richiedono prove altrettanto straordinarie". E tanto più straordinaria è l'affermazione, tanto più rigorose e definitive dovranno essere le prove da portare, visto che l'assunto è tanto distante dalla realtà ordinaria.

Questo chiude il cerchio e ci riporta alla questione di giganti e nani di forma umana. Per esempio, possiamo dire in modo conclusivo e senza alcun dubbio che King Kong, un gorilla gigante dieci volte più alto e migliaia di volte più pesante ma con la stessa biologia di uno normale, non esiste e non potrebbe mai esistere nell'universo conosciuto. Punto.
Alcune persone potrebbero trovare dell'arroganza intellettuale in questa affermazione. Ma è un'affermazione razionale e scientifica, a prescindere dalla considerazione del lettore per razionalità e scienza. Provate a confrontare questa arroganza con quella di pretendere che qualcosa esista solo perché si crede o desidera che sia così, fregandosene delle leggi naturali.

Naturalmente niente ci vieta di credere ancora a qualcosa di soprannaturale e discuterne, ma solo a condizione che ciò di cui parliamo sia al di fuori della natura, in modo che non possa essere confutato nell'ambito del mondo fisico.

Ci sono altre implicazioni filosofiche la cui discussione va oltre l'obiettivo e la portata di queste pagine, ma che il lettore può approfondire, se lo desidera. Il mio scopo era fornire un po' di cibo per la menteper quel che riguarda la fisica delle proporzioni, far chiarezza su alcuni equivoci e fornire un esempio su quanto l'indagine scientifica possa essere incredibilmente capace di spiegare e collegare tra loro le cose.

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Note

1. a. The plural of dwarf, according to English usage, is dwarfs, when referring to Medicine (dwarfism) and Astronomy (brown dwarfs); and dwarves, when referring to the fictional beings, as described in the folklore of so many cultures.
   b. From the 1726 classic of English literature, “Travels into Several Remote Nations of the World, in Four Parts. By Lemuel Gulliver, First a Surgeon, and then a Captain of several Ships,”  by Jonathan Swift. Most famous for his satirical view of life in eighteenth century England. See also the readings below for bibliographical information.
2. Deuteronomio 3:11. Si vedano più sotto le letture consigliate per un link a una pagina piuttosto dettagliata sui giganti nella Bibbia.
3. L'altezza di King Kong è variata negli anni da 5 metri e mezzo a oltre 18 metri.
4. Si veda www.hulu.com per delle repliche del programma televisivo "La terra dei giganti" (trasmesso negli USA dal 1968 al 1970 e in Italia dal 1987).
5. Nella mitologia greca i ciclopi erano giganti con un solo occhio in mezzo alla fronte. Polifemo era il ciclope più famoso, visto che ebbe uno sfortunato incontro con Ulisse quando questo visitò la sua isola. Si vedano le letture consigliate per un link con la storia di Polifemo.
6. I actually heard that joke from the audio of one of Richard Feynman’s Lectures on Physics, the one on Gravitation.
7. Science-fiction book by Isaac Asimov. See also the readings below for bibliographical information.
8. As discussed on Day One of his book, "Dialogue Concerning the Two Chief World Systems," published in 1632 in Florence, Italy. See also the readings below for bibliographical information.
9. The tallest skyscrapers have lengths between 600 and 800 m (less than half a mile): Current holder of world's tallest freestanding structure: Burj Dubai, Dubai, UAE, 818 m (2,684 ft). Some other tall/large structures: Sears Tower, Chicago, USA, 527 m (1,730 ft); Egyptian Pyramids, between 60 - 150 m (200 ft- 500 ft) ; Nuclear Supercarrier U.S Nimitz, 332.8 m (1,092 ft).
10. Human knowledge is growing exponentially, doubling about once per year. Arguably, one consequence will be the advanced, far stronger materials of the near future derived from nanotechnology. See, for instance, the possibility of a space elevator, made of a carbon nanotubes composite ribbon, stretching vertically for about 100,000 km (62,000 miles) into space. See, for instance: http://science.howstuffworks.com/space-elevator.htm
11. As discussed on Day Two of his book, "Dialogue Concerning the Two Chief World Systems," published in 1632 in Florence, Italy. See also the readings below for bibliographical information.
12. The Unexpected Vista: A Physicist’s View of Nature, by James S. Trefil, pages 161-163. Published in 1983. See also the readings below for bibliographical information.
13. Of course there are other considerations, such as the fact that the roach would soon reach terminal velocity; i.e, a constant, relatively low speed reached by the roach when the upward dragging force matches the downward gravitational force.
14. Neil Armstrong, U.S. Astronaut, first human to walk on another celestial body: Apollo 11, July 21,1969.
15. For an informative and entertaining discussion, see, for instance, from "The Physics of Superheroes," Chapter 2-Deconstructing Krypton-Newton's Law of Gravity, by James Kakalios. Please see the readings below for bibliographical information.
16. Arguably, and according to one way of looking at hair and fur, we have hair on our heads, and fur everywhere else: arms, legs, eyelashes, etc. The main difference is that hair keeps growing, whereas fur just grows to a given extent and then stops growing. Another difference is related to how long hair and fur lasts before falling off.
17. That is a rough estimate. I would surmise that food needs are actually proportional to Lⁿ, where 2 < 3, but definitely much less than 3. If you think a little harder, you might find the argument about the amount of food needed being proportional to the surface area somewhat contradictory. After all, the food needed as we grow up has to be in some way related to our mass, since this food ultimately become our flesh and bone. No wonder kids and adolescents eat so much. On top of needing their energy to keep the furnace going, they need food to build their bodies. In general for an adult, however, all studies show that energy requirements are roughly proportional to the square of the dimensions. 
18. The smallest species of shrews digest their food very rapidly, to the point that some of it passes through, not fully digested. Some shrews actually eat their feces to assimilate the undigested nutrients. Due to their very high metabolic rates (think Lilliputian), shrews can die relatively easily, not only of starvation, but also out of fright. For more on shrews' life at the edge, see, for instance: http://science.jrank.org/pages/6130/Shrews.html
19. Hippopotamus, from Greek hippo: horse, and potamus: river, spend a great deal of time in water, their body shape and short legs being adaptations to their semi-aquatic life, even given birth in it. Along with whales and rhinoceros, they are some of the largest mammals and animals that have ever lived. (Even the biggest dinosaurs were much smaller than a Blue Whale.) It was discovered, through DNA studies, as a very surprising finding of the past decade, that the closest (or one of the closest) relative of the hippos are the whales.
20. Actually, of all the solids having a given volume, the sphere is the one with the smallest surface area, and conversely, of all solids having a given surface area, the sphere is the one having the greatest volume. So if you have to make a container with a given amount of material (which costs money), and want to get the maximum volume out of it, make it into a sphere, if it is practical enough.
21. a. The other very important contributor to Earth's continued geological activity is the constant liberation of energy by radioactive elements in its interior.
    b. Most of the craters of the Moon were actually formed during the Late Heavy Bombardment Period, approximately 3.8 to 4.1 billion years ago. The Heavy bombardment refers roughly to the first 3/4 of a billion years after the formation of the Solar System, when the young planets and satellites were constantly bombarded by the remnant debris(from less than pea-size meteors to asteroid size) orbiting around the Sun. As everybody has heard the stories of the possibility of a big asteroid hitting our planet at anytime--and watches shooting stars once in a while, the "bombardment" still continues to this day, but there is far less debris circling around. Any signs of craters on Earth have had the tendency to disappear "quickly," due to various factors, such as 3/4 of our planet being covered by deep water, the constant resurfacing due to geological activity, and plant life quickly covering them.
22. Using orders of magnitude is the scientist way of looking at the big picture in order to gain deep insight into Nature, in an attempt to avoid reasoning from being clouded by "irrelevant" details. It corresponds to the exponent in powers of 10. Quick examples of looking at the big picture in order to gain some deeper insight out of Nature:   1. All mammals and birds live equally long: 109 heartbeats. Whether it is a small bird lasting a few years with a heartbeat rate of several hundred beats/min or a large mammal living several decades with a much slower heartbeat rate, we all live equally longer. Then the scientist can ask, does that mean anything deeper, are all animals like furnaces that can burn only a given, limited amount of fuel, whether it is burnt slowly or faster?   2. Another quick example with money: say that, at this precise instant, your worth is USD$17,450.00, Bill Gates' worth is USD$47,345,363,227.05 and Warren Buffett's worth is USD$43,274,653,326.15. That means that your worth is USD$104 dollars, whereas Gates and Buffett's are each worth USD$1010. They are, therefore, both immensely wealthier than you are; i.e., six orders of magnitude richer than you are, and they are both equally rich. The fact that one has 47 billion and the other 43 billion is immaterial and irrelevant for most purposes(the big picture). (the term billion is used here as in the American definition: 109.)
23. The tallest mountain on Earth, from base to peak, is Mauna Kea, one of the volcano-islands that comprise the archipelago of Hawaii, USA, in the Pacific Ocean. Mauna Kea is 10,204 meters tall (33,480 feet), rising 4,205 m (13,796 ft) above sea level. The tallest mountain above sea level is, of course, the well-know, majestic peak of Mount Everest, 8,848-m (29,029 ft) tall, in the Himalaya range. They are both young, relatively uneroded mountains, about 50-60 million years old.
24. Epilepsy, or The Sacred Disease, as called by Hippocrates in his book, refers to a pattern of unprovoked seizures that happen when neurons (nerve cells) in the brain fire electrical impulses at a rate of up to four times higher than normal. Hippocrates was the first human to propose the hitherto strange idea that diseases actually have natural causes, unrelated to gods.
25. As suggested jokingly by Ray Kurzweil in his Forward to James Gardner's book, "The Intelligent Universe."  His point was actually related to the evolution of intelligence in the multiverse and the speculative possibility that there could have been indeed an intelligent designer of our universe, such as an evolved intelligence from some other universe, who, as it became superintelligent, decided to create our universe: http://www.kurzweilai.net/meme/frame.html?main=/articles/art0691.html 
26. Il 12 aprile 1961 Yuri Gagarin (1934-1968) divenne il primo essere umano a viaggiare nello spazio e orbitare intorno alla Terra. Confermò visualmente quanto Democrito (c. 460 AC – c. 370 AC) aveva congetturato, Eratostene (c. 276 AC – c. 195 AC) misurato indirettamente e Magellano (1480 – 1521) confermato con la circumnavigazione del globo.

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Letture consigliate

• PSSC-Physics by the Physical Science Study Committee, 1960, D.C. Heath and Company, Boston. See Chapter 4-Functions and Scaling, on the first edition of the book;
• Gulliver's Travels Into Several Remote Regions of the World by Jonathan Swift, 1726;
• Giants in the Bible, article by the religious writer Peter Chattaway;
• Polyphemus, for an account of Polyphemus story and his encounter with Ulysses;
• Fantastic Voyage, by Isaac Asimov, 1988. You may also want to check his related book, Asimov's Fantastic Voyage-Destination Brain, and the original movie, Fantastic Voyage, from 1966, directed by Richard Fleischer;
• Dialogue Concerning the Two Chief World Systems, by Galileo Galilei, 1632. Complete English web translation, with figures, from the University of Virginia's Physics Professor Michael Fowler's web site;
• The Unexpected Vista: A Physicist’s View of Nature, by James S. Trefil, 1983. Charles Scribner’s & Sons, New York;
• The Physics of Superheroes, by James Kakalios, 2005. Gotham Books, a division of Penguin Group, New York.