giovedì 4 febbraio 2016

Il Principio di Improbabilità

Un caprone
Mi è capitato di recente di discutere di “caso” su un  newsgroup  con un caprone newage di quelli intrattabili e irrecuperabili. È convinto che il caso non esista. Dice che se qualcuno indovina, in media, una volta su sei il dado che avete lanciato, non lo farebbe per caso. Gli ho fatto notare che è il risultato che ci si aspetta normalmente da chiunque; che anche un computer che genera un numero random tra 1 e 6 ci azzecca altrettanto bene; e che anche chi risponde sempre “4” in media ci prende una volta su 6.

Il caprone però è irremovibile: il caso non esiste e l'individuo in questione dev'essere necessariamente dotato di qualche “facoltà sconosciuta” (magari legata alla sua visione cazzara della meccanica quantistica), altrimenti avrebbe sbagliato sempre. Che si possa indovinare un numero tra 1 e 6 tirando a casaccio è per lui inconcepibile e in effetti non arriva nemmeno a capire che sbagliare sempre sarebbe tanto strano quanto indovinare sempre. Pare incredibile, ma individui del genere esistono veramente, e pretendono pure di essere esperti di fenomeni paranormali. Ma non è di questo caso umano (il caprone, intendo) che voglio parlare.

Anche dalle discussioni inutili a volte scaturisce qualcosa di utile. Facendo ricerche sull'argomento mi è caduto infatti l'occhio su un libro intitolato “Il caso non esiste” (su Amazon potete leggerne un estratto e poi magari acquistarlo, personalmente ve lo consiglio). L'autore, David Hand, è un affermato docente universitario di statistica, uno studioso di prim'ordine a livello mondiale. Possibile che abbia scritto una simile enormità?

In effetti no, non è possibile (vedi, sotto, la legge della leva di probabilità). L'enormità è tutta merito dell'editore che voleva evidentemente un titolo ad effetto, anche se del tutto insensato. Quello originale è infatti “The Improbability Principle”, un'idea che significa sostanzialmente il contrario del titolo italiano.

Il libro parla delle coincidenze più strane, degli eventi più straordinariamente improbabili e incredibili, delle ragioni per cui accadono e continuano accadere, a dispetto del fatto che - in quanto tali - non dovrebbero accadere.

Il «principio di improbabilità» consiste di cinque leggi: inevitabilità, numeri veramente grandi, selezione, leva di probabilità e prossimità sufficiente. Esse attengono a livelli diversi. Alcune fanno riferimento ad aspetti fondamentali del modo in cui è strutturato l’universo. Altre si fondano su proprietà intrinseche di ciò che intendiamo per probabilità. Altre ancora riguardano la psicologia umana. Nelle circostanze giuste, una qualsiasi di queste leggi è sufficiente a dare prova del principio di improbabilità, ma è quando tutte operano all’unisono che la sua forza diventa notevole. E l’improbabile, per quanto inconcepibile, accade.

Di alcune di queste si è già parlato nell'articolo “La psicologia delle coincidenze”. Vediamole a grandi linee. Ve le riporto tradotte direttamente dal sito dedicato al libro.

1. La Legge dell'Inevitabilità: qualcosa deve accadere.

La legge dell'inevitabilità ci dice che almeno un esito, nell'insieme completo di tutti gli esiti possibili di un evento casuale, deve verificarsi.

Dunque, per vedere questa legge in azione, dobbiamo essere in grado di elencare tutti i possibili esiti, almeno in linea di principio: l'insieme di tutte i possibili biglietti della lotteria che potrebbero essere estratti, l'insieme di tutti i compleanni in un anno, e così via.

Nel 1990 Stefan Klincewicz mise insieme un consorzio per comprare tutti gli 1,9 milioni di biglietti della lotteria irlandese quando il jackpot arrivò a 2,2 milioni di sterline. Se fosse riuscito a comprare la maggior parte dei biglietti, si sarebbe garantito il jackpot - o, almeno, una parte del jackpot, perché c'è sempre la possibilità anche qualcun altro acquisti un biglietto vincente [nota: nel lotto dei paesi anglosassoni per ogni estrazione vengono messi in vendita dei biglietti precompilati tra i quali sicuramente ce n’è almeno uno con la combinazione vincente; in più è possibile compilarne dei vuoti coi propri numeri].

Accadde che, nonostante le modalità logistiche impressionanti, il suo consorzio riuscì a comprare solo l'80% dei biglietti, e anche se riuscirono ad averne uno vincente, lo stesso accadde anche anche a un altro vincitore (la storia non ci racconta quanti biglietti avesse comprato l'altro vincitore).

2. La legge dei numeri davvero grandi: con un numero sufficiente di opportunità, anche la cosa più eccessiva è probabile che accada.

Nel luglio del 1975 a Hamilton, Bermuda, un taxi fece cadere Erskine Lawrence Ebbin che viaggiava sul suo motorino, uccidendolo. L'anno prima, il fratello Neville Ebbin era stato ucciso alla guida dello stesso ciclomotore sulla stessa strada dallo stesso autista, sullo stesso taxi, che trasportava lo stesso passeggero.

Il punto di partenza qui, naturalmente, è il numero di morti ogni anno in incidenti stradali in tutto il mondo. Il Global Health Observatory parla di 1,24 milioni di morti l'anno. Questa storia risale a più di 40 anni fa, per cui stiamo parlando di circa 40 milioni di morti da allora. Con numeri del genere sarebbe strano se coincidenze come quella dell'aneddoto non ci fossero.

Se ricorriamo alle altre leggi del Principio di Improbabilità ci rendiamo conto che questo evento non dovrebbe poi sorprenderci troppo. Per esempio, il fatto che lo stesso taxi fosse sulla stessa strada fa pensare che possa essere stata attivata la Legge della Leva di Probabilità (vedi sotto). Questi eventi potrebbero non essere indipendenti ma correlati: forse quel passeggero veniva portato regolarmente dallo stesso taxi con lo stesso autista per fare lo stesso percorso. Se fosse così, le probabilità comincerebbero ad apparire piuttosto diverse di quelle calcolate assumendo che non ci siano relazioni tra questi elementi.

3. La Legge di Selezione: puoi rendere le cose probabili a piacere se le scegli in base all'evento.

Uno dei casi classici sulle coincidenze in cui qualcuno legge dei significati nascosti riguarda i parallelismi tra le vite dei presidenti americani Abraham Lincoln e John F. Kennedy.

Tutti sanno che entrambi morirono in un attentato, ma quello che è meno noto è che entrambi furono assassinati di venerdì e alla presenza delle loro mogli. A entrambi spararono alla testa, da dietro. Lincoln fu ucciso al Teatro Ford, mentre Kennedy fu colpito su un'automobile della Ford. Inoltre entrambi avevano un figlio che morì mentre erano presidenti – Willie, il figlio di Lincoln e Patrick, quello di Kennedy. Lincoln aveva un segretario personale chiamato John, e Kennedy ne aveva uno chiamato Lincoln. Lincoln divenne presidente nel 1861, Kennedy nel 1961; l'assassino di Lincoln, John Wilkes Booth, era nato 1839 (la pagina di Wikipedia dice 1838; se è vero si tratta di un esempio della legge di Prossimità Sufficiente - vedi sotto) mentre quello di Kennedy, Lee Harvey Oswald, nel 1939. Sia Lincoln che Kennedy furono seguiti da presidenti chiamati Johnson, nati – tenetevi forte – rispettivamente nel 1808 e nel 1908. Entrambi avevano quattro figli.

Ho scelto questo come esempio della Legge di Selezione ma sarebbe potuto andar bene per illustrare anche altre leggi del Principio di Improbabilità. Come ho scritto nel libro, è quando le leggi agiscono in concerto che il Principio di Improbabilità diventa veramente sorprendente.

La legge della selezione è manifesta nel carattere selettivo delle corrispondenze di cui sopra. Queste sono state scelte tra un gran numero di coppie potenziali (in effetti un numero infinito, il che permette l'applicazione della legge dei numeri davvero grandi), per la maggior parte delle quali non c'è alcuna corrispondenza: i nomi delle loro madri, per esempio, oppure l'altezza delle loro mogli, le date di matrimonio, se avevano la barba oppure no, la natura precisa delle loro fedi religiose, e così via indefinitamente. Sono state scelte queste e sono state omesse tutte le altre che non corrispondono.

Anche la legge della Leva di Probabilità si cela in questo esempio. Il fatto che entrambi siano stati colpiti alla testa è citato come coincidenza. Ma negli attentati con arma da fuoco venir colpiti alla testa o al petto è la norma: non vi capiterà spesso di sentire di qualcuno che è stato assassinato sparandogli a un piede. Nel momento in cui a entrambi è stato sparato, la probabilità che per entrambi si trattasse di un colpo alla testa è piuttosto alta. Stesso discorso per la presenza delle mogli: le consorti accompagnano spesso i presidenti [nelle occasioni pubbliche], per cui la probabilità che queste fossero presenti in entrambi i casi non è così bassa (e ci si potrebbe chiedere se, nel caso le mogli non fossero state presenti negli attentati, il fatto sarebbe stato citato come coincidenza).

La legge della Prossimità Sufficiente è presente diverse volte in questo esempio. Sicuramente furono assassinati mentre erano in carica, ma non nella stessa data e - in effetti - nemmeno a 100 anni esatti di distanza. Il segretario di Lincoln di nome si chiamava John e non Kennedy (e d'altra parte quello di Kennedy si chiamava Lincoln e non Abraham). Come stabilisce la legge della Prossimità Sufficiente: quando non è possibile avere una corrispondenza esatta con due eventi identici, perché non accontentarsi di due eventi simili?

Si può essere tentati di scegliere altre due figure storiche e vedere quante corrispondenze si riescono a trovare. Fatelo per abbastanza coppie, affidatevi alla legge dei numeri davvero grandi (dopo tutto quante ce ne sono di queste coppie?), e sarete essenzialmente sicuri di trovare delle “coincidenze” come nel caso di questo racconto su Lincoln e Kennedy.

4. La Legge della Leva di Probabilità: piccole variazioni possono rendere degli avvenimenti improbabili quasi certi.

Nel 2005 io e uno dei miei laureandi prendemmo un volo per gli Stati Uniti per partecipare a una conferenza. Prenotammo i posti separatamente perché dopo l'incontro saremmo andati in posti diversi. Ci ritrovammo comunque seduti uno di fianco all'altro.

La mia prima reazione fu "ma guarda che coincidenza incredibile!" Dopo tutto un 747 trasporta tra le 400 e le 500 persone, per cui le probabilità di trovarci in posti vicini erano di 1 su 450 (una via di mezzo tra 400 e 500). Dopo di che ho pensato: stiamo viaggiando nella stessa classe per cui il numero di posti è inferiore a 450. E poi i sedili isolati sono pochi: normalmente sono a coppie lungo i lati della cabina o in gruppi più grandi al centro, quindi sicuramente ci si siederà vicino a qualcuno. Inoltre molti, forse la maggior parte, non viaggiano da soli, per cui il numero di posti singoli è molto meno di quel che si potrebbe sembrare. Mettete insieme tutto questo e le probabilità di ritrovarsi seduti vicini cambiano drasticamente: invece che essere solo 1 su 450 diventano qualcosa di molto più probabile.

(Ho escluso il caso che il mio studente avesse visto la possibilità di potermi finalmente agganciare per discutere con me della sua tesi per tutta la durata del volo!)

5. La Legge di Prossimità Sufficiente: eventi sufficientemente simili vengono considerati identici.

Negli anni 1950, Eric W. Smith, che viveva a Sheffield in England, era solito raccogliere letame di cavallo nel bosco dietro casa per le sue piante di pomodoro. Un giorno vide un'altra persona che faceva la stessa cosa. Quando si sedette su una panchina per riposarsi, l'altro uomo fece lo stesso. Eric si presentò, dicendo di chiamarsi Smith. “Anch'io”, disse l'altro. Eric a quel punto precisò: “Eric Smith.” A quel punto fu chiaro che si stava verificando una ben strana coincidenza: “Pure io”, rispose l'altro. “Eric W. Smith”, disse Eric. “Sì,” confermò l'altro.
La discussione che ne seguì rivelò che la W del primo Eric Smith stava per Wales, mentre quella del secondo stava per Walter. Non una coincidenza esatta – ma prossima a sufficienza per essere sorprendente. Cosa sarebbe successo se il secondo nome avesse avuto un'iniziale diversa? Sarebbe stata una coincidenza non precisa ma ancora sorprendente? Fino a che punto possiamo rilassare le condizioni di una corrispondenza perché risulti ancora sorprendente? Quanto vicino ci si deve andare?
Di nuovo, dovremo considerare anche le altre leggi del Principio per capire se possono aiutare a produrre questo evento apparentemente molto improbabile. Per esempio, possiamo considerare che Smith è il cognome più diffuso nel Regno Unito, condiviso da circa 700.000 persone – ossia 1 su 100 (questa stima vale per il giorno d'oggi: non so quale fosse il numero negli anni 1950).

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